Cómo encontrar la ecuación de una parábola

En términos del mundo real, una parábola es el arco que hace una pelota cuando la lanzas, o la forma distintiva de una antena parabólica. En términos matemáticos, una parábola es la forma que se obtiene cuando se corta un cono sólido en un ángulo que es paralelo a uno de sus lados, por lo que se conoce como una de las “secciones cónicas”. La forma más fácil de encontrar la ecuación de una parábola es utilizando su conocimiento de un punto especial, llamado vértice, que se encuentra en la propia parábola.

Reconocer una fórmula de parábola

Si ve una ecuación cuadrática en dos variables, de la formay = ax2 + bx + c, Donde un ≠ 0, ¡felicitaciones! Has encontrado una parábola. La ecuación cuadrática a veces también se conoce como la fórmula de “forma estándar” de una parábola.

Pero si se le muestra un gráfico de una parábola (o se le da un poco de información sobre la parábola en formato de texto o “problema verbal”), querrá escribir su parábola en lo que se conoce como forma de vértice, que se parece a esto:

y = a (x – h)2 + k(Si la parábola se abre verticalmente)

x = a (y – k)2 + h(Si la parábola se abre horizontalmente)

¿Cuál es el vértice de la parábola?

En cualquier fórmula, las coordenadas (h, k) representan el vértice de la parábola, que es el punto donde el eje de simetría de la parábola cruza la línea de la parábola misma. O, para decirlo de otra manera, si doblaras la parábola por la mitad por la mitad, el vértice sería el “pico” de la parábola, justo donde cruza el pliegue del papel.

Encontrar la ecuación de una parábola

Si se le pide que encuentre la ecuación de una parábola, se le dirá el vértice de la parábola y al menos otro punto en ella, o se le dará suficiente información para resolverlos. Una vez que tenga esta información, puede encontrar la ecuación de la parábola en tres pasos.

Hagamos un problema de ejemplo para ver cómo funciona. Imagina que te dan una parábola en forma de gráfico. Se le dice que el vértice de la parábola está en el punto (1,2), que se abre verticalmente y que otro punto de la parábola es (3,5). ¿Cuál es la ecuación de la parábola?

    Tu primera prioridad debe ser decidir qué forma de la ecuación de vértice usarás. Recuerde, si la parábola se abre verticalmente (lo que puede significar que el lado abierto de la U está hacia arriba o hacia abajo), usará esta ecuación:

    y = a (x – h)2 + k

    Y si la parábola se abre horizontalmente (lo que puede significar que el lado abierto de la U mira hacia la derecha o hacia la izquierda), usará esta ecuación:

    x = a (y – k)2 + h

    Debido a que la parábola del ejemplo se abre verticalmente, usemos la primera ecuación.

    A continuación, sustituya las coordenadas del vértice de la parábola (h, k) en la fórmula que eligió en el paso 1. Como sabe que el vértice está en (1,2), sustituirá en h = 1 y k = 2, lo que le da la siguiente:

    y = a (x – 1)2 + 2

    Lo último que tienes que hacer es encontrar el valor dea. Para hacer eso, elija cualquier punto (x, y) En la parábola, siempre que ese punto no sea el vértice, y sustitúyalo en la ecuación.

    En este caso, ya se le han dado las coordenadas para otro punto en el vértice: (3,5). Entonces sustituirá en x = 3 e y = 5, lo que le da:

    5 = a (3 – 1)2 + 2

    Ahora todo lo que tienes que hacer es resolver esa ecuación paraa. Una pequeña simplificación le ofrece lo siguiente:

    5 = a (2)2 + 2, Que se puede simplificar aún más para:

    5 = a (4) + 2, Que a su vez se convierte en:

    3 = una (4)Y finalmente:

    a = 3/4

    Ahora que ha encontrado el valor dea, Sustitúyelo en tu ecuación para terminar el ejemplo:

    y = (3/4) (x – 1)2 + 2Es la ecuación de una parábola con vértice (1,2) y que contiene el punto (3,5).

    Consejos

    • ¡Con todas esas letras y números flotando, puede ser difícil saber cuándo “terminaste” de encontrar una fórmula! Como regla general, cuando trabajas con problemas en dos dimensiones, terminas cuando solo te quedan dos variables. Estas variables generalmente se escriben comoXYy,Especialmente cuando se trata de formas “estandarizadas” como una parábola.