¿Hay algo más complejo que los números complejos? » ABC de la ciencia

Existen múltiples sistemas numéricos en matemáticas que son más complicados que los números complejos, como los cuaterniones.

Cuando éramos niños, los únicos números que nos importaban eran los que necesitábamos para contar. ¿Cuántos ojos tienes? ¡Dos! ¿Cuantos años tienes? ¡Siete! ¿Cuántos dulces quieres? Bueno… incontables, pero entiendes la esencia.

No necesitábamos más números que los que se usan para contar cosas porque parecían aparecer naturalmente en la naturaleza, y así nacieron los números naturales.

Conjunto de símbolos de gestos de mano.  Varios iconos de mano con conteo de dedos

El conjunto de los números naturales se utiliza para contar. (Crédito de la foto: Bibadash/Shutterstock)

A medida que creciste y fallaste más y más exámenes, llegaste a comprender la importancia del cero. Terminaste agregando este cero a tu conjunto existente de números y obtuviste números enteros.

Las cosas se fueron complicando cada vez más. En algún momento, conociste personas negativas en la vida que te introdujeron al concepto de números enteros negativos.

También hubo personas racionales e irracionales que lanzaron un bombardeo de tipos de números completamente extraños sobre ti.

Sin embargo, todo estuvo bien porque sabías que todos eran reales, pero la felicidad duró poco. Los números te pusieron tan mal que pronto te los estabas imaginando. Simplemente no podías seguir el ritmo porque cada vez se volvían más complejos y, finalmente, simplemente te sentabas y te preguntabas: “¿Esto va a terminar alguna vez?

Estos números complejos parecen bastante complicados, ¿verdad? ¿Puedo detenerme allí o hay algo aún más complejo que los números complejos?

Brillante,Joven,Matemático,Enfoques,Grande,Pizarra,Y,Acabados,Escritura,Sofisticado

Un matemático complicando las cosas sin ningún motivo. (Crédito de la foto: Gorodenkoff/Shutterstock)

Alerta de spoiler: sí, hay algo aún más complicado… y se pone peor.

Vídeo recomendado para ti:

¿Qué son los números complejos?

Veamos primero los números imaginarios. ¿Qué es un número imaginario y qué lo hace imaginario? En primer lugar, los números imaginarios no están incluidos en el conjunto de los números reales. Los números reales consisten en todos los números enteros, así como los números racionales e irracionales.

Ahora, puede sentir que los números reales contienen todos los números que hay, pero eso no es del todo correcto. Piensa en esto, ¿cuál es la raíz cuadrada de 4? Sabes la respuesta a esto, ¿verdad? Es 2 o -2 (porque ambos números, cuando se multiplican por sí mismos, dan el mismo número).

Bastante fácil, ¿verdad? Ahora intenta esto, ¿cuál es la raíz cuadrada de -4? Pensemos en eso. ¿Qué número, cuando se multiplica por sí mismo, da -4? La respuesta no puede ser 2 o -2 porque necesitas multiplicarlos entre sí y no entre sí (ya que 2 y -2 son dos números completamente diferentes).

Hombre,Mano,Sosteniendo,Blanco,En blanco,Espuma de poliestireno,Bola,Con,Manuscrito,Imaginario

Esta ecuación particular es la regla más fundamental de los números imaginarios. (Crédito de la foto: Ivica Drusany/Shutterstock)

Lo que usamos en esos momentos es un número imaginario i. el valor de i es

(haciendo ). Así, podemos escribir que la raíz cuadrada de -4 es 2i. Cualquier número cuando se combina con i se convierte en un número imaginario.

Un número complejo es una combinación de un número real y un número imaginario. Tiene la forma:

Número complejo = Número real + Número imaginario

Construcción de un número complejo

Construcción de un número complejo. (Crédito de la foto: sousou07/Shutterstock)

Por ejemplo, podemos tener un número complejo 4+3i, donde 4 es la parte real y 3i es la parte imaginaria.

¿Cómo ‘rotan’ los números complejos?

Primero imaginemos estos números en un gráfico. Desde que éramos niños, nos han enseñado la recta numérica. Una recta numérica puede mostrar todos los números reales de

a .Número,Línea,Con,Positivo,Números,En,Azul,Color,Y,Negativo

La recta numérica unidimensional. (Crédito de la foto: BaMic_illustrations/Shutterstock)

Verá, una línea es solo unidimensional, por lo que solo necesita una dimensión para representar los números reales. También se puede decir que los números reales son unidimensionales.

Ahora, veamos cómo podemos representar números complejos. Como se mencionó anteriormente, los números complejos tienen dos partes, una real y otra imaginaria, por lo que para representarlos gráficamente necesitamos dos líneas, una línea para la parte real, al igual que antes, y una línea para la parte imaginaria, en el unidades de i.

Complejo 2D

El plano complejo 2-D.

Por lo tanto, los números complejos necesitan dos líneas o ejes para ser representados gráficamente, por lo que son bidimensionales, y hay una cosa muy interesante que puedes hacer en dos dimensiones… ¡rotar!

En una línea recta, solo podemos movernos hacia adelante o hacia atrás, pero en un plano 2-D, podemos movernos de arriba hacia abajo, de izquierda a derecha o incluso movernos en un círculo completo girando 360 grados.

Rotaciones en el plano complejo

Rotaciones de un número en el plano complejo por multiplicación con varias potencias de i. (Crédito de la foto: Keφr/Creative Commons)

Podemos movernos en el eje horizontal sumando o restando un número real y podemos movernos en la línea vertical sumando o restando un número imaginario, pero si multiplicamos un número complejo por i, entonces terminamos rotando el número (es como elegir el número y moverlo en el perímetro de un círculo y luego colocarlo en algún otro ángulo) a través de cierto ángulo.

Entonces, ¿cómo giras en 3 dimensiones?

Esa misma pregunta inquietaba a William Hamilton mientras paseaba con su esposa. Se dio cuenta de repente de que un número de 4 dimensiones resolvería el problema.

Escoba,Puente,,Dublin.,William,Hamilton,Placa

El puente Brougham con una placa que recuerda el gran descubrimiento de Hamilton. (Crédito de la foto: Joaquín Ossorio Castillo/Shutterstock)

Se cree que talló la primera regla de sus nuevos números 4-D, conocidos como Quaternions, allí mismo en el puente Brougham, que es:

Esto es muy similar a la

regla vista para los números imaginarios.Tabla de multiplicar cuaterniones en matemáticas

La tabla de multiplicar de cuaterniones. (Crédito de la foto: sousou07/Shutterstock)

Y al igual que los números complejos, un cuaternión se escribe como una combinación de estos números, junto con un número real, por ejemplo: 6+2i+4j+7k.

Como hemos visto en el caso bidimensional de números complejos, la multiplicación por i gira el número en el plano bidimensional; en el caso de los cuaterniones, la multiplicación por cualquiera de i, j, k o combinaciones de ellos gira un número en 3 dimensiones.

Global,Comunicación,Red,Concepto.,En todo el mundo,Negocio.,Iot,(internet,De,Cosas)

Los cuaterniones se utilizan para hacer que los objetos tridimensionales giren en la programación de gráficos por computadora. (Crédito de la foto: metamorworks/Shutterstock)

Esta es una propiedad extremadamente importante de los cuaterniones que se utiliza en la programación de gráficos para hacer que los objetos animados giren en su entorno. De hecho, los cuaterniones también se utilizan para mapear y programar la rotación de su teléfono inteligente y tabletas.

Conclusión

Así que sí, hay sistemas numéricos más complejos que los números complejos, uno de los cuales vimos aquí en forma de cuaterniones: los números de 4 dimensiones. Incluso hay sistemas de números de 8 y 16 dimensiones, pero no son muy útiles y, por lo tanto, casi nunca se discuten (incluso en grupos de matemáticas).

Si bien las cosas se vuelven mucho más complejas que los números complejos, no tienes que preocuparte por eso. Estamos más que felices con nuestro pequeño grupo de números reales, porque siempre serán nuestros verdaderos amigos.

Lectura sugerida

¿Te resultó útil este artículo

Sí No