La paradoja de Hilbert de un hotel infinito » Science ABC

Los matemáticos y científicos siempre han estado intrigados por los misterios detrás del ‘infinito’. La paradoja de Hilbert de un hotel infinito es uno de esos experimentos mentales que despierta la curiosidad e intriga a la gente hasta el día de hoy.

Imagina que tu jefe te pide que hagas un viaje de negocios urgente a uno de los lugares más concurridos del país. Lo primero que harías es reservar tus billetes y buscar un hotel con habitaciones disponibles. ¡Pobre de mí! Después de dos horas de búsqueda, descubre que todos los hoteles están llenos.

De repente, aparece un anuncio de ‘Infinite Hotel’, por lo que visita el sitio web y logra encontrar una habitación para usted, incluso si el hotel está lleno.

Ahora, puede que empieces a preguntarte… ¿qué es exactamente este hotel infinito? ¿Cómo es posible que, a pesar de no tener vacantes, aún se puedan arreglar habitaciones vacantes para los huéspedes? ¡Es contradictorio con la lógica!

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El infinito es vago

El concepto de infinito es interesante y requiere que tengas una mente abierta mientras exploras varios aspectos del mismo. Las matemáticas son tales que necesitan que renuncies a tus nociones asumidas previamente y te sumerjas en lo desconocido.

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John Wallis, un matemático inglés inventó el símbolo del infinito en 1655 (Crédito de la foto: veinte20)

Infinito es un concepto vago que implica un sinfín de posibilidades, dando lugar a un gran número de paradojas. Podría ser apropiado decir que los matemáticos han hecho este concepto aún más complejo al introducir términos como ‘infinito contable’ e ‘infinito incontable’.

Por un lado, decimos que las cosas infinitas son ilimitadas e insondables, lo que implica ‘cosas infinitas incontables’, y por otro lado, consideramos una colección muy grande de cosas como ‘infinitas contables’, que se pueden contar una a la vez. , a pesar de que está contando no llegará a su fin. ¿No es extraño?

La ‘paradoja del hotel infinito’

La ‘Paradoja del hotel infinito’ es uno de esos experimentos mentales propuestos por David Hilbert en 1924 que explora la naturaleza infinita de los números y las propiedades de un conjunto infinito.

Supongamos que hay un gran hotel llamado ‘Hotel Infinito’, que tiene un número contablemente infinito de habitaciones ocupadas. Las habitaciones corresponden a los números naturales de la serie numérica. Usando el sentido común, uno concluiría que dado que el hotel está completamente ocupado, no se pueden alojar más huéspedes, pero aquí viene el giro con el “infinito”.

El infinito no tiene límites, por lo que no importa cuán grande sea el número, siempre hay un número mayor. Por lo tanto, si desea una habitación allí, el gerente del hotel puede organizarla fácilmente para usted.

el hotel esta lleno

El ‘Hotel Infinito’ nunca se queda sin habitaciones. ¡Así de único es!

Pero, ¿cómo lo hace el gerente? Si lo piensa, puede encontrar una respuesta a esta paradoja. Se puede decir que dado que hay un número infinito de habitaciones, el huésped simplemente puede ser puesto en la última habitación…

… pero espera, el misterio no es tan fácil de descifrar, ya que aquí está involucrado el infinito. ¡No hay una última habitación en el hotel infinito!

La solución complicada

No hay una última habitación, pero siempre existe la siguiente habitación en este Hotel Infinito. Y ahí radica la solución para acomodar huéspedes adicionales en nuevas habitaciones.

El administrador inteligente puede cambiar a cada huésped a la habitación contigua, simultáneamente. Por ejemplo, mueva al huésped de la habitación n.° 1 a la habitación n.° 2, de la habitación n.° 2 a la habitación n.° 3, de la habitación n.° 3 a la habitación n.° 4, y así sucesivamente. De esta forma, el huésped de la habitación n se traslada a la habitación n+1.

De esta manera, después de cambiar a cada invitado, la habitación #1 queda vacía, donde uno más huésped se puede acomodar.

El mapeo para la asignación de habitaciones a un número finito de huéspedes

El mapeo para la asignación de habitaciones a un número finito de huéspedes

Este método se puede emplear para liberar un número finito de habitaciones para acomodar un número finito de huéspedes en el hotel.

¿Se quedará alguna vez sin habitaciones el ‘Hotel Infinito’?

Lo anterior fue el caso del experimento mental para un número finito de invitados.

¿Cuál será el escenario si un número infinito de invitados quiere registrarse? ¿Se quedará sin habitaciones el hotel infinito? Matemáticamente hablando, ¡no!

Consideremos dos casos:

1) Llega un autobús con un número infinito de pasajeros en busca de habitaciones

La popularidad de este hotel va en aumento, y un día llega un autobús con una infinidad de pasajeros que buscan habitaciones en este hotel. La tarea recae sobre los hombros del gerente para organizar las habitaciones para ellos.

El gerente inteligente es muy bueno con las matemáticas y encuentra la solución al instante. Cambia al huésped de la habitación n.° 1 a la habitación n.° 2, de la habitación n.° 2 a la habitación n.° 4, de la habitación n.° 3 a la habitación n.° 6, y así sucesivamente. De esta forma, el huésped de la habitación n se traslada a la habitación n.º 2n.

Esto deja al gerente con un número impar infinito de habitaciones vacías donde se puede acomodar el número infinito de pasajeros.

El mapeo para la asignación de habitaciones a un número infinito de huéspedes

El mapeo para la asignación de habitaciones a un número infinito de huéspedes

2) Llega una infinidad de buses con una infinidad de pasajeros buscando habitaciones

Otra noche más, el gerente está desconcertado al ver llegar un número infinito de autobuses con un número infinito de pasajeros que buscan habitaciones. Ahora, este es el caso más complicado de resolver, pero el gerente también es lo suficientemente inteligente como para manejar el desafío. Rápidamente recuerda sus lecciones de matemáticas en la escuela y se da cuenta de que el conjunto de todos los números primos (2, 3, 5, 7, 11,…..) es contablemente infinito.

Por lo tanto, comienza a desplazar el conjunto infinito de los huéspedes actuales del hotel de sus números de habitación actuales a números de habitación que son iguales a la potencia del número de habitación actual elevado a la base 2. Entonces, la persona en la habitación n.° 1 se desplaza a habitación #2^1= 2, la persona en la habitación #2 se traslada a la habitación #2^2 = 4, y así sucesivamente. De esta forma, el huésped de la habitación n se traslada a la habitación n.º 2^n.

El mapeo para la asignación de habitaciones a los huéspedes actuales del hotel

El mapeo para la asignación de habitaciones a los huéspedes actuales del hotel

Después de esto, a los pasajeros del primer autobús se les asignan habitaciones utilizando el siguiente número primo 3. El pasajero del asiento n.º 1 se traslada a la habitación n.º 3^1, el pasajero del asiento n.º 2 se traslada a la habitación n.º 3^2, y así. De esta forma, el pasajero del asiento #n se traslada a la habitación #3^n.

El mapeo para asignación de habitaciones a los pasajeros del 1er bus

El mapeo para asignación de habitaciones a los pasajeros del 1er bus

De manera similar, a los pasajeros del segundo autobús se les asignan habitaciones usando el siguiente número primo 5. El pasajero del asiento n.º 1 se traslada a la habitación n.º 5^1, el pasajero del asiento n.º 2 se traslada a la habitación n.º 5^2 y pronto. De esta forma, el pasajero del asiento #n se traslada a la habitación #5^n.

El mapeo para la asignación de habitaciones a los pasajeros del 2° bus

El mapeo para la adjudicación de habitaciones a los pasajeros del 2do bus

Empleando este método, el gerente acomoda sin esfuerzo todo el número infinito de pasajeros del número infinito de autobuses. También debería recibir un aumento de salario por usar métodos tan ingeniosos, ¿no crees?

EL GERENTE DESPUÉS DE ALOJAR A TODOS LOS HUÉSPEDES

The Infinite Hotel Paradox es un experimento que invita a la reflexión y que ha fascinado a los matemáticos durante décadas.

Una palabra final

Lo creas o no, incluso después de acomodar a un número infinito de invitados, todavía habrá muchas habitaciones desocupadas en el ‘Hotel Infinito’, ¡lo cual es bastante alucinante! En pocas palabras, la paradoja radica en la contradicción de las afirmaciones de que ‘el hotel está completamente ocupado’ y ‘todavía hay espacio para cada nuevo huésped’, ¡ya que ambas son ciertas!

Sin duda, sería una bendición encontrar este ‘Hotel Infinito’ cuando realmente necesita encontrar una habitación para una reunión de negocios urgente y de última hora, ¿verdad?

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