¿Qué es la paradoja del hotel infinito? » ABC de la ciencia

Los matemáticos y los científicos siempre se han sentido intrigados por desvelar los misterios que se esconden detrás del ‘infinito’. La paradoja de Hilbert de un hotel infinito es uno de esos experimentos mentales que despierta la curiosidad.

Imagina que tu jefe te acaba de pedir que hagas un viaje de negocios urgente a uno de los lugares más concurridos del país. Lo primero que harías es reservar tus billetes y buscar un hotel con habitaciones disponibles. ¡Pobre de mí! Han sido dos horas de búsqueda y todos los hoteles están llenos.

De repente, aparece el anuncio de ‘Infinite Hotel’, visita el sitio web y encuentra una habitación para usted, incluso si el hotel está lleno.

Ahora, empiezas a preguntarte ¿qué es exactamente este hotel infinito? ¿Cómo es posible que, aunque no haya vacantes, se puedan reservar habitaciones para los huéspedes? ¡Es contradictorio con la lógica!

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El infinito es vago

El concepto de infinito es interesante y necesita que tengas una mente abierta mientras exploras varios aspectos del mismo. Las matemáticas son tales que necesitan que renuncies a tus nociones asumidas previamente y te sumerjas en lo desconocido.

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John Wallis, un matemático inglés inventó el símbolo del infinito en 1655 (Crédito de la foto: veinte20)

El infinito es un concepto vago que implica un sinfín de posibilidades que dan lugar a un gran número de paradojas. Podría decirse que los matemáticos han hecho este concepto aún más complejo al introducir términos como ‘infinito contable’ e ‘infinito incontable’.

Por un lado, decimos que las cosas infinitas son ilimitadas e insondables, lo que implica ‘cosas infinitas incontables’, y por otro lado consideramos una colección muy grande de cosas como ‘infinitas contables’ que se pueden contar una a la vez a pesar de que está contando no llegará a su fin. ¿No es extraño?

La ‘paradoja del hotel infinito’

La ‘Paradoja del hotel infinito’ es uno de esos experimentos mentales propuestos por David Hilbert en 1924 que explora la naturaleza infinita de los números y las propiedades de un conjunto infinito.

Supongamos que hay un gran hotel llamado ‘Hotel Infinito’ que tiene un número contablemente infinito de habitaciones ocupadas. Las habitaciones corresponden a los números naturales de la serie numérica. Usando el sentido común, uno concluiría que, dado que el hotel está completamente ocupado, no se pueden acomodar más huéspedes, pero aquí viene el giro con el infinito.

El infinito no tiene límites, por lo que no importa cuán grande sea el número, siempre hay un número mayor que ese. Entonces, si desea una habitación allí, el gerente del hotel puede arreglársela fácilmente.

el hotel esta lleno

El ‘Hotel Infinito’ nunca se queda sin habitaciones. ¡Así de único es!

Pero, ¿cómo lo hace el gerente? Si haces una lluvia de ideas, podrías encontrar una respuesta a esta paradoja. Se puede decir que dado que hay un número infinito de habitaciones, el huésped puede colocarse en la última habitación.

Pero, espera, no es un misterio fácil de descifrar ya que aquí está involucrado el infinito. No hay una última habitación en el hotel infinito.

La solución complicada

No hay una última habitación, pero siempre existe la siguiente habitación en este Infinite Hotel. Y aquí radica la solución para acomodar huéspedes adicionales en nuevas habitaciones.

El administrador inteligente puede cambiar a cada huésped a la habitación contigua, simultáneamente. Por ejemplo, mueva al huésped de la habitación n.° 1 a la habitación n.° 2, de la habitación n.° 2 a la habitación n.° 3, de la habitación n.° 3 a la habitación n.° 4, y así sucesivamente. De esta forma, el huésped de la habitación n se traslada a la habitación n+1.

De esta manera, después de cambiar a cada invitado, la habitación #1 queda vacía donde uno más invitado se puede acomodar.

El mapeo para la asignación de habitaciones a un número finito de huéspedes

El mapeo para la asignación de habitaciones a un número finito de huéspedes

Este método se puede emplear para liberar cualquier número finito de habitaciones para acomodar cualquier número finito de huéspedes en el hotel.

¿Se quedará alguna vez sin habitaciones el ‘Hotel Infinito’?

Lo anterior fue el caso para un número finito de invitados.

¿Cuál será el escenario si un número infinito de invitados quieren registrarse? ¿Se quedará sin habitaciones el hotel infinito? Matemáticamente hablando, ¡no!

Consideremos dos casos:

1) Llega un autobús con un número infinito de pasajeros en busca de habitaciones

La popularidad de este hotel va en aumento y un día llega un autobús con una infinidad de pasajeros que buscan habitaciones en este hotel. La tarea recae sobre los hombros del gerente para organizar las habitaciones para ellos.

El gerente inteligente es muy bueno con las matemáticas y encuentra la solución al instante. Ahora cambia al huésped de la habitación n.° 1 a la habitación n.° 2, de la habitación n.° 2 a la habitación n.° 4, de la habitación n.° 3 a la habitación n.° 6, y así sucesivamente. De esta forma, el huésped de la habitación n se traslada a la habitación n.º 2n.

Esto deja al gerente con un número impar infinito de habitaciones vacías donde puede caber el número infinito de pasajeros.

El mapeo para la asignación de habitaciones a un número infinito de huéspedes

El mapeo para la asignación de habitaciones a un número infinito de huéspedes

2) Llega una infinidad de buses con una infinidad de pasajeros buscando habitaciones

Otra noche, el gerente está desconcertado al ver llegar una infinidad de autobuses con una infinidad de pasajeros que buscan habitaciones. Ahora, este es el caso más complicado de resolver. Pero, el gerente también es el más sabio de todos. Rápidamente recuerda sus lecciones de matemáticas en la escuela y se da cuenta de que el conjunto de todos los números primos (2, 3, 5, 7, 11,…..) es contablemente infinito.

Entonces, comienza a cambiar el conjunto infinito de los huéspedes actuales del hotel de sus números de habitación actuales a números de habitación que son iguales a la potencia del número de habitación actual elevado a la base 2. Entonces, la persona en la habitación n.° 1 se cambia a habitación #2^1= 2, la persona en la habitación #2 se traslada a la habitación #2^2 = 4, y así sucesivamente. De esta forma, el huésped de la habitación n se traslada a la habitación n.º 2^n.

El mapeo para la asignación de habitaciones a los huéspedes actuales del hotel

El mapeo para la asignación de habitaciones a los huéspedes actuales del hotel

Después de esto, a los pasajeros del primer autobús se les asignan habitaciones utilizando el siguiente número primo 3. El pasajero del asiento n.º 1 se traslada a la habitación n.º 3^1, el pasajero del asiento n.º 2 se traslada a la habitación n.º 3^2, y así. De esta forma, el pasajero del asiento #n se traslada a la habitación #3^n.

El mapeo para asignación de habitaciones a los pasajeros del 1er bus

El mapeo para asignación de habitaciones a los pasajeros del 1er bus

De manera similar, a los pasajeros del segundo autobús se les asignan habitaciones usando el siguiente número primo 5. El pasajero del asiento n.º 1 se traslada a la habitación n.º 5^1, el pasajero del asiento n.º 2 se traslada a la habitación n.º 5^2 y pronto. De esta forma, el pasajero del asiento #n se traslada a la habitación #5^n.

El mapeo para la asignación de habitaciones a los pasajeros del 2° bus

El mapeo para la asignación de habitaciones a los pasajeros del 2° bus

Empleando este método, el gerente acomoda sin esfuerzo a todo el número infinito de pasajeros del número infinito de autobuses. Debería obtener un aumento de salario por usar métodos tan ingeniosos, ¿no?

EL GERENTE DESPUÉS DE ALOJAR A TODOS LOS HUÉSPEDES

The Infinite Hotel Paradox es un experimento que invita a la reflexión y que ha fascinado a los matemáticos durante décadas.

Una palabra final

Lo crea o no, incluso después de alojar a un número infinito de invitados, todavía habrá muchas habitaciones desocupadas en el ‘Hotel Infinito’. ¡Eso es bastante alucinante! En pocas palabras, la paradoja radica en la contradicción de las afirmaciones de que ‘el hotel está completamente ocupado’ y ‘todavía hay espacio para cada nuevo huésped’, siendo ambas ciertas.

Sería una bendición encontrar este ‘Hotel Infinito’ en un momento de crisis cuando necesita encontrar un lugar para quedarse para una reunión de negocios urgente, ¿no es así?