¿Qué es un péndulo doble?

Un péndulo doble es simplemente dos péndulos conectados de un extremo a otro. Este sistema demuestra la teoría del caos y cómo pequeñas variaciones conducen a grandes cambios.

Un péndulo doble es un sistema tan simple que un alumno de quinto grado podría hacerlo. Aun así, este sistema y sus movimientos son complejos y extremadamente intrigantes.

La forma en que se mueve un péndulo doble es una demostración de caos, una idea fundamental con implicaciones de gran alcance.

¿Qué es un péndulo doble?

Un péndulo simple es una masa suspendida de un punto fijo. Lo vemos dentro de relojes de péndulo, yendo y viniendo sin descanso para decirnos la hora. Nos da un movimiento oscilatorio, que es fácil de rastrear. Le das un empujón y oscila de un lado a otro hasta que las fuerzas de fricción conspiran para hacer que se detenga en la posición de equilibrio.

Un simple péndulo. (Crédito de la foto Krishnavedala / Wikimedia commons)

Un péndulo doble es exactamente lo que parece. Es un sistema simple que consiste en un péndulo con otro péndulo unido a su extremo. Doble diversión.

Un péndulo doble. (Crédito de la foto Jacopo Bertolotti / Wikimedia commons)

El movimiento de un péndulo doble no es tan simple como el de nuestro péndulo único.

Péndulo simple vs péndulo doble

Un péndulo simple experimentará un movimiento oscilatorio y se detendrá en la posición de equilibrio. Eso es tan cierto como que el sol sale por el este, por así decirlo. Es completamente predecible.

Si traza el movimiento del péndulo, su ángulo desde la vertical en el eje xy su velocidad hacia adentro en el eje y, obtendrá una espiral que se aprieta hacia adentro. Puede variar las condiciones iniciales y hacer que la espiral sea más pequeña o más grande, pero finalmente la espiral termina en la misma posición. Este gráfico se llama espacio de fase.

Considere una versión ideal de un péndulo simple: una masa puntual suspendida por una barra sin masa. La fricción y la resistencia del aire no están en la imagen. Si lo traza, obtendrá un bucle. No importa cuál sea la amplitud del péndulo, solo será un bucle de diferente tamaño.

Movimiento de un péndulo simple. (Crédito de la foto Kernsters / Wikimedia commons)

No importa cómo varíe las condiciones iniciales. Si tiene fricción, siempre se detendrá en el origen de la espiral. Si no lo hace, seguirá rastreando un circuito cerrado.

Esto significa que el movimiento de un péndulo simple es predecible, que es exactamente lo que no es un péndulo doble.

¿Por qué el péndulo doble y no el péndulo simple? Un péndulo simple tiene solo un grado de libertad. El péndulo doble tiene dos grados de libertad. Necesitamos ecuaciones diferenciales dependientes de las condiciones iniciales para resolver los movimientos de un péndulo doble. Esto nos da los ingredientes para el caos.

El movimiento de un doble péndulo

La trayectoria del movimiento de un péndulo doble parece una locura … ¡porque lo es! Para ángulos pequeños, los péndulos dobles también nos dan un movimiento armónico simple, pero para desplazamientos más grandes, este no es el caso. Puede probar una simulación en vivo de un péndulo en vivo aquí.

La imagen de larga exposición de un péndulo doble con una fuente de luz muestra el movimiento que sufre. (Crédito de la foto George Ioannidis / Wikimedia commons)

Podemos describir el movimiento de un péndulo doble usando un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias. Debemos ir a la mecánica de Lagrange para descubrir las ecuaciones de movimiento para péndulos dobles. Si desea saber cómo se derivan estas ecuaciones, vea el video a continuación.

Esto puede parecer confuso para algunos lectores. Si tenemos las ecuaciones de movimiento, ¿por qué sería impredecible el sistema? Resuelva las ecuaciones y podremos predecir el movimiento de los péndulos, ¿verdad?

El problema es que el sistema del péndulo doble depende en gran medida de las condiciones iniciales. Si no podemos determinar las condiciones iniciales con un 100% de certeza (y en física, no arrojamos porcentajes a la ligera), no podemos predecir el comportamiento del sistema.

Dado que es imposible alcanzar ese nivel de certeza, no podemos predecir el movimiento de un péndulo doble. Dos péndulos dobles lanzados desde el mismo lugar simultáneamente tendrán una ligera variación en sus condiciones iniciales. Esto se traducirá en un cambio dramático de trayectoria en muy poco tiempo. La variación en sus trayectorias aumentará rápida y exponencialmente.

La complejidad de un péndulo doble en oposición a un péndulo único es algo así como el infame problema de los tres cuerpos. Puede predecir el comportamiento de dos cuerpos que se influyen entre sí, pero si agrega uno más, el sistema se vuelve demasiado complejo.

El doble péndulo y la teoría del caos

Un péndulo doble es una de las demostraciones más simples de la teoría del caos. Puede que conozcas esto como “el efecto mariposa”, pero hay mucho más. Una de las características definitorias del caos es la sensibilidad a la variación en las condiciones iniciales.

En el siguiente video, el creador ha realizado una simulación de 500 péndulos dobles con ligeras diferencias en sus ángulos de inicio. Por leve, me refiero a una millonésima de radianes. Dos péndulos dobles adyacentes son inicialmente solo diferentes en una millonésima de radianes. Empiezan por trazar los mismos caminos. Pero como puede ver, en segundos, sus caminos divergen dramáticamente.

Esto sucede debido a la naturaleza caótica del sistema.

El punto a tener en cuenta aquí es que este sistema es caótico, pero no aleatorio. Es muy, muy sensible a las condiciones iniciales. Si tiene dos péndulos dobles con exactamente las mismas condiciones iniciales, trazarán el mismo camino. El sistema es simplemente muy implacable con incluso un pequeño cambio. Seguramente hará una montaña de un grano de arena.

Sin embargo, en realidad, es imposible soltar dos péndulos dobles con exactamente las mismas condiciones iniciales. Por lo tanto, será imposible predecir la trayectoria que seguirá el péndulo.

Este es un vistazo a cómo funcionan todos los sistemas caóticos. El péndulo doble demuestra cómo no podemos hacer predicciones precisas sobre los sistemas caóticos.

Cuando se toman en conjunto numerosos casos, los sistemas caóticos como el péndulo doble forman patrones, llamados fractales.

La imprevisibilidad del mundo

Vemos cómo el comportamiento caótico hace que un sistema tan simple como dos bolas en dos cuerdas sea casi imposible de predecir. ¿Qué patrones formarían un millón de péndulos dobles liberados juntos? ¿Qué pasa con los péndulos triples?

Nuestro mundo comprende varios de estos sistemas caóticos e imposibles de predecir. Incluso nuestro sistema solar exhibe un comportamiento caótico cuando se consideran períodos de tiempo más largos. A través del ejemplo del doble péndulo, vemos la teoría del caos en acción y podemos entender lo difícil que es predecir el mundo que nos rodea.