¿Qué hace que los logaritmos naturales sean “naturales”? » Cienciahoy

Un logaritmo natural es una función logarítmica con base “e” que se encuentra repetidamente en la naturaleza.

Las matemáticas son algo en lo que prefiero pensar como un lenguaje. Más específicamente, es el lenguaje del universo. Algunos números, como algunas palabras en todos los idiomas, siempre se usan, mientras que otros existen básicamente solo en el diccionario. Aparte de los números ordinarios, las matemáticas también tienen símbolos geniales para representar ciertos números. “π” (pi) es popular, junto con “i” (iota), la raíz de uno negativo, y muchos más.

Otro muy conocido es el “e” (número de Euler), la base de los logaritmos naturales. El valor de e va como 2.7198281828459…

¿Qué hace que un número irracional y trascendental como “e” sea especial? ¿O qué hace que el logaritmo natural sea tan “natural”?

=2.7198281828459;  QUE PASA CON ESTO QUE TE SUENA NATURAL meme

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¿Qué es un logaritmo natural?

Los logaritmos son operadores exponenciales inversos. Es el valor de la potencia que debe elevarse un número para obtener otro número.

Por ejemplo, log2 8 = 3, lo que implica 23 = 8. Aquí, el subíndice 2 es la base del logaritmo, y 2 elevado a la potencia 3 dará 8. Entonces, si tomamos el logaritmo de 8 con base 2, el la respuesta sera 3

De manera similar, loge (x) se conoce como el logaritmo natural de un número x, o simplemente se denota como ln(x). Es decir, eln(x) = x o ln ex = x.

Historia de los Logaritmos y Logaritmos Naturales

A pesar de que los logaritmos se describen como operadores exponenciales inversos, lo cual es correcto en el sentido moderno, no es por eso que se inventaron. Cuando John Napier publicó por primera vez su descubrimiento sobre los logaritmos en 1614, los logaritmos se utilizaron como tablas de cálculo.

Tabla Mirici Logarithmorum de Napier para 19 grados

Tabla logarítmica de Napier. (Crédito de la foto: ArnoldReinhold/Wikimedia commons)

Básicamente, puede considerar esas tablas de registro como una versión más avanzada de las tablas de multiplicar. Los logaritmos se usaron para simplificar cálculos complicados de multiplicación y división a sumas y restas. Por supuesto, esto fue en la era anterior a la computadora y a la calculadora, cuando incluso las multiplicaciones consumían mucho tiempo. La mayoría de nosotros no nos encontramos con tablas logarítmicas en estos días.

Lo que es más sorprendente es que los logaritmos naturales se descubrieron décadas antes de que se descubriera e. Es cierto, aunque no tiene mucho sentido.

Esta tabla se puede usar para demostrar una tabla de logaritmos muy simple.

tabla de logaritmos

La primera columna es una progresión geométrica con base 2 y la segunda columna es una progresión aritmética con una diferencia común de 1.

Si queremos multiplicar 4 y 8, sumaríamos los términos correspondientes en la segunda columna. Eso nos daría 2 + 3 = 5. Cuando comprobamos el término correspondiente a 5, podemos ver que es 32, que sabemos que es el valor de 8 * 4.

De esta manera, simplificamos la multiplicación a la suma. De manera similar, podemos hacer divisiones con restas. Sin embargo, el problema con esta demostración es que no tiene todos los números. Una mirada muestra que faltan 3, 5, 6, 7 y otros. La brecha entre los números aumenta a medida que subimos. Para solucionar esto, es necesario utilizar diferentes progresiones geométricas y aritméticas.

Cuando usamos una progresión geométrica y una progresión aritmética y las combinamos de manera similar para formar una tabla, sorprendentemente forman la tabla de logaritmos “naturales”. Pero en ese momento, no se reconocía como logaritmos con base e.

Los logaritmos naturales, tal como los conocemos ahora, aparecieron por primera vez cuando los matemáticos intentaron calcular el área bajo la hipérbola cuadrada.

hipérbola uno sobre x

Hipérbola cuadrada. (Crédito de la foto: Maksim/Wikimedia commons)

La ecuación de esta curva es xy = 1.

Si lo integramos, la respuesta será ln(x). Esta fue la primera vez que los logaritmos se identificaron como funciones, en lugar de solo tablas de cálculo. El propio nombre vendría más tarde, cuando Nicholas Mercator publicó la serie de Taylor para ln (1+x) y llamó a los logaritmos con base e “logaritmos naturales”.

¿Por qué los logaritmos naturales son “naturales”?

Si alguien buscara en la literatura una respuesta adecuada a esta pregunta, encontraría un par de razones.

Crecimiento exponencial

Una razón principal es el concepto de crecimiento exponencial o crecimiento natural.

El crecimiento exponencial es un modelo particular de crecimiento en el que el crecimiento es directamente proporcional a la cantidad en ese momento. Matemáticamente,

dx/dt = x dx/x = dt

Esto implica que:

t = ln (x) + C

o

x