Si suma todos los enteros negativos con los enteros positivos, ¿obtendría cero? » Cienciahoy

La suma de todos los números enteros forma una serie infinita, cuya respuesta depende del orden de las sumas parciales dentro de ella.

Sabemos que hay infinitos enteros positivos e infinitos enteros negativos. Para la cantidad finita de ellos, suponiendo que la cantidad tanto de los positivos como de los negativos es la misma, cuando se suman, daría como resultado cero. Esto tiene sentido tanto intuitivo como matemático.

Sin embargo, ¿es lo mismo para un número infinito de estos enteros? ¡Veamos este rompecabezas con más detalle!

¿Qué es una serie en matemáticas?

La suma de todos los números enteros infinitos (tanto positivos como negativos) no es una tarea fácil ni directa, por lo que debemos comenzar por comprender el proceso matemático detrás de esto. Para entender este proceso, primero debemos familiarizarnos con las ideas de serie y secuencias en matemáticas.

Vayamos en una secuencia (sin juego de palabras) y comencemos con secuencias primero. Entonces, ¿qué es una secuencia en la vida real? En nuestras actividades cotidianas, a menudo organizamos las cosas de forma secuencial. En la cocina, las especias y las hierbas que usamos con más frecuencia se mantienen adelante, mientras que las que rara vez usamos se guardan atrás.

Ciclo de vida del manzano

La secuencia en la que crece un árbol. (Crédito de la foto: Kazakova Maryia/Shutterstock)

Cuando un maestro recupera los exámenes de sus alumnos, los organiza en el orden de los números o nombres de los rollos. Hay muchos ejemplos de este tipo de secuencias en nuestra vida diaria y lo más importante de ellos es un patrón. Todas las secuencias siguen un patrón, por lo que, en consecuencia, los miembros de una secuencia encuentran su lugar.

Lo mismo es cierto en matemáticas. A secuencia es una colección de números que siguen una determinada regla u orden. Por ejemplo, podemos crear una regla como

, donde el valor de i cambia para darnos el i-ésimo elemento de la sucesión. Siguiendo esta regla, la sucesión tendría la forma 1, 4, 9, 16, 25,… y así sucesivamente.

Ahora, un serie es simplemente la suma de los elementos de una secuencia. Por ejemplo, la serie de la sucesión mencionada anteriormente sería

.

Esto significa la suma de todos los elementos en la secuencia de

hasta las 5Icono de glifo de sombra larga de diseño plano de suma

Una serie es la suma de todos los elementos de una secuencia. (Crédito de la foto: bsd studio/Shutterstock)

Los números enteros y su suma también forman secuencias, y su serie se usa para encontrar la respuesta a la pregunta titular de este artículo.

¿Qué son la convergencia y la divergencia?

Aprendimos qué es una serie en matemáticas: la suma de números que siguen una regla específica. Ahora, puede haber secuencias que duran para siempre, lo que significa que hay infinitos elementos en ellas. Las series de sucesiones con infinitos elementos se conocen como series infinitas.

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Una secuencia infinita tiene infinitos elementos dentro de ella. (Crédito de la foto: hacer más antenas/Shutterstock)

Si, en la secuencia mencionada en la sección anterior, en lugar de detenernos en 5, hubiéramos seguido hasta el infinito, entonces la serie infinita se habría visto así

.

Hay series finitas con una sola respuesta finita, como la que se detuvo en 5 (siendo su respuesta 55), pero ¿qué pasa con las series infinitas? ¿Tienen una respuesta finita?

La respuesta es ambas, si y no.

La respuesta a una serie infinita (una suma de números infinitos) se obtiene primero encontrando una suma finita y luego aplicándole el límite de infinito. ¿Qué significa eso? La suma total se puede dividir en n número de sumas más pequeñas. Luego, aplicamos un límite a estas sumas parciales (aplicar un límite nos ayuda a encontrar la respuesta usando fórmulas predefinidas, sin tener que sumar las sumas infinitas) para obtener la respuesta a toda la serie.

En lugar de sumar todos los elementos infinitos, simplemente encontramos la fórmula para la suma parcial y luego usamos el límite que tiende a infinito y obtenemos la respuesta usando las fórmulas de límites predefinidas.

Hay algunas series cuya suma se acerca mucho a cierto número. Podemos pensarlo de esta manera, la suma de los números (la respuesta de la serie) se acerca cada vez más a cierto número a medida que agregamos más y más elementos a la serie, acercándonos así cada vez más al infinito.

Parece como si la serie estuviera convergiendo en un solo número. La respuesta a la serie de tales números infinitos es ese número particular; esta propiedad se conoce como convergencia.

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Varias líneas de colores que convergen en un solo punto. (Crédito de la foto: Lightspring/Shutterstock)

Ahora bien, existen otras series infinitas cuya suma nunca se acerca a ningún número en particular, sino que continúa aumentando. De hecho, se vuelve tan grande que la suma de todos los elementos infinitos resulta ser infinito positivo o negativo. Tales series infinitas que no convergen en ningún número en particular son divergentes, y la propiedad se conoce como divergencia.

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Un solo camino que diverge en múltiples caminos. (Crédito de la foto: manos maestras/Shutterstock)

Entonces, ¿cuál es la respuesta a la serie de números enteros?

Como hemos visto, los números enteros siguen una cierta regla y por lo tanto forman una secuencia. Dado que queremos encontrar la suma de todos los números enteros (tanto positivos como negativos), esto significa que queremos encontrar la respuesta a la serie de la secuencia de enteros.

Pero aquí es donde el problema se complica. ¿Recuerdas esas sumas parciales que usamos para calcular la suma total? Pues bien, el orden y la forma de esas sumas parciales afectan en algunos casos a la respuesta de una serie infinita; lamentablemente, la suma de todos los números enteros (pos. y neg.) es uno de esos casos.

Hay muchas formas en las que se pueden agrupar las sumas parciales, pero en aras de la simplicidad, le proporcionaré dos de ellas para aclarar el punto. La primera y más fácil forma sería:

Esto da la respuesta como ceroser un convergente serie.

Sin embargo, cuando los agrupamos como:

la serie se convierte divergente y ahí está sin respuesta para ello.

Conclusión

La respuesta a la pregunta es tanto sí como no, dependiendo de cómo se calculen y agrupen las sumas parciales de las series de números enteros.

También hay formas matemáticamente más rigurosas de lidiar con este problema, pero todas dan como resultado la misma conclusión.

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